Las transformaciones geométricas juegan un papel fundamental en el Dibujo Técnico y la Geometría Proyectiva, permitiendo comprender cómo las figuras cambian de forma, tamaño y posición en el espacio.
Entre ellas, la homotecia, homología, afinidad e inversión (HHAI) son herramientas clave para la representación gráfica y el análisis geométrico.
- Homotecia: Es una transformación que amplía o reduce una figura respecto a un punto fijo llamado centro de homotecia, manteniendo la proporción entre sus elementos. Se utiliza para estudiar semejanzas y escalas en el dibujo técnico.
- Homología: Relaciona dos figuras mediante un centro homológico y un eje de homología, estableciendo una correspondencia entre sus elementos. Es clave en la Geometría Proyectiva, ya que permite representar transformaciones perspectivas.
- Afinidad: Es una transformación que conserva el paralelismo entre rectas, pero puede alterar ángulos y proporciones. Se emplea en representaciones de perspectivas axonométricas y en el análisis de figuras proyectadas.
- Inversión: Es una transformación que modifica figuras respecto a un círculo dado. Transforma rectas en circunferencias y viceversa, siendo útil en el estudio de construcciones geométricas avanzadas.
1. Homotecia
Con la homotecia, una transformación que estira o encoge una figura, mantendremos esta semejanza y aprenderemos a usarla en construcciones geométricas.
2. Homología y Afinidad
La homología es una transformación geométrica que conecta puntos a través de un eje y un centro, generando pares de puntos homólogos. Nos enfocaremos en cómo reconocer y dibujar rectas límite y centros de homología.
La afinidad es una transformación que mantiene el paralelismo y las proporciones, pero puede cambiar la forma y el tamaño de las figuras. Tiene un eje que converge con las rectas afines, y una dirección en la que se alinean los pares de puntos afines.
3. Inversión
La inversión en dibujo técnico es una transformación geométrica que consiste en proyectar puntos de una figura respecto a un círculo dado, llamado circulo de inversión. Se utiliza para resolver problemas geométricos de manera más sencilla, como construcciones de lugares geométricos o transformaciones de curvas.
Pautas generales para realizar una inversión:
- Definir el círculo de inversión: Se escoge un círculo con centro OO y radio RR, que servirá como referencia para la transformación.
- Aplicar la relación de inversión: La inversión transforma un punto PP en otro punto P′P’ de manera que se cumple la relación: OP⋅OP′=R2OP cdot OP’ = R^2 donde OPOP y OP′OP’ son las distancias desde OO hasta los puntos PP y P′P’, respectivamente.
- Determinar la posición del punto inverso:
- Si el punto PP está dentro del círculo, su inverso estará fuera.
- Si PP está fuera, su inverso estará dentro.
- Si PP está en el círculo, su inverso coincide con él mismo.
- Invertir figuras geométricas: La inversión transforma ciertas figuras en otras:
- Líneas que pasan por el centro de inversión se conservan.
- Líneas que no pasan por el centro se convierten en circunferencias.
- Circunferencias que pasan por el centro se transforman en líneas rectas.
- Circunferencias que no pasan por el centro se transforman en otras circunferencias.
Dado que hay múltiples casos y variaciones, es importante adaptar el proceso según la situación geométrica específica.
