Cuando trabajamos con problemas de tangencias, nos enfrentamos a la interacción entre tres tipos de elementos geométricos fundamentales: puntos, rectas y circunferencias. Estos elementos se combinan de diferentes formas, dando lugar a los casos clásicos de tangencias estructurados por Apolonio, quien utilizó una nomenclatura basada en las iniciales de los elementos implicados.
Por ejemplo:
- PPP: Hallar una circunferencia que pase por tres puntos dados.
- PRR: Hallar una circunferencia que pase por un punto y sea tangente a dos rectas.
- RRC: Hallar una circunferencia tangente a dos rectas y a una circunferencia.
La nomenclatura permite identificar fácilmente el tipo de problema que se desea resolver según los elementos implicados.
Elementos clave para resolver problemas de tangencias
Para resolver problemas de tangencias, es necesario calcular ciertos elementos geométricos fundamentales. Estos elementos dependen del caso específico y determinan el método más adecuado para la solución. Los principales son:
1. Haz de centros
El haz de centros es el lugar geométrico de todos los puntos que pueden ser el centro de una circunferencia tangente buscada.
Por ejemplo:
- En el caso de PRR, el haz de centros corresponde a la bisectriz del ángulo entre las dos rectas, ya que cualquier circunferencia tangente a ambas tendrá su centro sobre esta línea.
2. Eje radical
El eje radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias dadas.
- Definición: Es una recta perpendicular a la línea que une los centros de las circunferencias, y su posición depende de las relaciones entre los radios y la distancia entre los centros.
- Utilidad: En problemas de tangencias, el eje radical ayuda a determinar posibles ubicaciones del centro cuando se busca una circunferencia tangente a dos circunferencias.
3. Centro radical
El centro radical es el punto de intersección de los ejes radicales de tres circunferencias.
- Este punto cumple la propiedad de tener igual potencia respecto a las tres circunferencias.
- Utilidad: Si trabajamos con tres circunferencias y necesitamos una circunferencia tangente a ellas, el centro radical puede ayudar a localizar el centro de la circunferencia buscada.
Métodos para resolver problemas de tangencias
Dependiendo de los elementos geométricos disponibles (haz de centros, eje radical o centro radical), los problemas de tangencias se resuelven mediante diferentes métodos:
1. Método directo
- Cuándo se usa: Si podemos identificar dos haces de centros (por ejemplo, bisectrices o lugares geométricos).
- Resolución:
- Localizamos los haces de centros que representan las posibles ubicaciones del centro.
- Hallamos el punto de intersección de estos haces, que será el centro de la circunferencia buscada.
- Ajustamos el radio según las condiciones de tangencia.
- Ejemplo: En el caso RRC, las bisectrices de las dos rectas forman un haz de centros, y la tangencia con la circunferencia dada ajusta la posición del centro.
2. Método de potencia
- Cuándo se usa: Si solo identificamos un haz de centros. En este caso, necesitamos determinar el eje radical.
- Resolución:
- Hallamos el eje radical entre las circunferencias implicadas.
- Identificamos el punto de intersección del haz de centros con el eje radical, que será el centro de la circunferencia buscada.
- Ajustamos el radio según las condiciones de tangencia.
- Ejemplo: En el caso CCC, si buscamos una circunferencia tangente a dos circunferencias y no podemos identificar dos haces de centros, el eje radical determina la posición del centro.
3. Método por inversión
- Cuándo se usa: Si no podemos identificar ningún haz de centros ni un eje radical claro.
- Resolución:
- Elegimos una circunferencia inversora adecuada (conveniente para simplificar el problema).
- Aplicamos la transformación por inversión, convirtiendo el problema en una configuración más sencilla (por ejemplo, líneas rectas o puntos).
- Resolvemos el problema en la configuración transformada y deshacemos la inversión para volver al problema original.
- Ejemplo: En el caso CCC con tres circunferencias exteriores muy separadas, la inversión puede simplificar la configuración transformando las circunferencias en líneas rectas.
Resumen
Para resolver un problema de tangencias:
- Identificar la configuración: Determinar qué elementos están implicados (puntos, rectas o circunferencias).
- Analizar los elementos geométricos disponibles: Localizar haces de centros, ejes radicales o centros radicales.
- Elegir el método adecuado:
- Método directo si hay dos haces de centros.
- Método de potencia si hay un haz de centros y un eje radical.
- Método por inversión si no hay haces de centros ni ejes radicales claros.
Esta metodología permite resolver cualquier problema de tangencias de forma estructurada y eficiente.
Cuestiones a tener en cuenta: Problemas de Apolonio
Estos problemas, planteados por el matemático Apolonio de Perga, se centran en encontrar circunferencias que sean tangentes a un conjunto dado de figuras geométricas. Tendremos que tener en cuenta las cuestiones planteadas anteriormente.
Conceptos generales
Descarga la forma de resolver todos los problemas en el siguiente archivo:
