Introducción a los problemas de tangencias resueltos por el método de inversión
En geometría, el método de inversión se utiliza para resolver problemas de tangencia complejos en los que los métodos directo y de potencia no son aplicables. Esto ocurre cuando no es posible identificar dos haces de centros ni trabajar con ejes radicales debido a las configuraciones geométricas del problema.
La inversión es una transformación geométrica que convierte circunferencias en líneas rectas o en otras circunferencias, simplificando la configuración original y permitiendo una solución más accesible. Este método es particularmente útil cuando las condiciones de tangencia involucran combinaciones complicadas de rectas, puntos y circunferencias.
¿Qué es la inversión geométrica y por qué se utiliza?
Definición de inversión
La inversión es una transformación en el plano con respecto a una circunferencia llamada circunferencia inversora. Dada una circunferencia inversora de radio RR y centro OO:
- A cada punto PP en el plano se le asigna un punto P′P’ tal que: OP⋅OP′=R2OP \cdot OP’ = R^2
- Si el punto PP está dentro de la circunferencia inversora, P′P’ estará fuera, y viceversa.
- Las circunferencias que pasan por el centro de la circunferencia inversora se transforman en líneas rectas.
Por qué se utiliza
- La inversión simplifica el problema convirtiendo elementos complicados como circunferencias en líneas rectas o configuraciones más manejables.
- Se utiliza cuando no es posible trabajar con haces de centros o ejes radicales, como en configuraciones donde las circunferencias están muy separadas o tienen posiciones complejas.
Casos resueltos por inversión
Los problemas que se abordan mediante este método incluyen:
- RCC: Una recta y dos circunferencias dadas.
- CCC: Tres circunferencias dadas.
- CCP: Dos circunferencias y un punto dado en una de ellas.
- CPR: Una circunferencia, un punto y una recta.
1. Caso RCC (Recta y dos circunferencias)
Se resuelve como el caso RCP, pero restando el radio de la circunferencia menor.
Elementos dados:
- Una recta (RR).
- Dos circunferencias (C1C_1 y C2C_2).
Descripción detallada:
Hallar una circunferencia que sea tangente a la recta y a ambas circunferencias.
Forma de resolución:
- Selecciona una circunferencia inversora cuyo centro sea un punto conveniente (por ejemplo, en la intersección entre RR y una línea que une los centros de las circunferencias).
- Aplica la transformación de inversión:
- La recta se transformará en una circunferencia que pasa por el centro de la inversora.
- Las circunferencias se transformarán en otras circunferencias.
- Resuelve el problema de tangencia en la configuración transformada, que será más sencilla.
- Inversa el resultado para recuperar la solución en la configuración original.
Propiedades aplicadas:
- La inversión transforma las tangencias en relaciones geométricas más simples.
- La transformación respeta las propiedades de las circunferencias y líneas.
A continuación se muestra el vídeo de CPR cuya resolución es similar a la de el apartado RCC que estamos estudiando.
2. Caso CCC (Tres circunferencias)
Se resuelve como el caso CCP, pero restando el radio de la circunferencia menor.
Elementos dados:
- Tres circunferencias (C1C_1, C2C_2 y C3C_3).
Descripción detallada:
Hallar una circunferencia que sea tangente a las tres circunferencias dadas.
Forma de resolución:
- Elige una circunferencia inversora cuyo centro esté en el centro de una de las circunferencias dadas (C1C_1).
- Aplica la transformación de inversión:
- La circunferencia cuyo centro coincide con el de la inversora se transformará en una línea recta.
- Las otras circunferencias se transformarán en otras circunferencias.
- Resuelve el problema de tangencia en la configuración transformada:
- Ahora consiste en hallar una circunferencia tangente a una línea y dos circunferencias, que es más simple.
- Realiza la inversión inversa para obtener la solución original.
Propiedades aplicadas:
- La inversión convierte uno de los elementos curvos en una línea recta, simplificando el problema.
- La tangencia se mantiene en la configuración inversa.
A continuación se muestra el vídeo de CCP cuya resolución es similar a la de el apartado CCC que estamos estudiando.
3. Caso CCP (Dos circunferencias y un punto en una de ellas)
Elementos dados:
- Dos circunferencias (C1C_1 y C2C_2).
- Un punto (PP) situado sobre una de las circunferencias (C1C_1).
Descripción detallada:
Hallar una circunferencia que pase por el punto PP y sea tangente a ambas circunferencias.
Forma de resolución:
- Elige una circunferencia inversora con centro en PP.
- Aplica la transformación de inversión:
- La circunferencia C1C_1, que pasa por PP, se transformará en una línea recta.
- La circunferencia C2C_2 se transformará en otra circunferencia.
- Resuelve el problema de tangencia en la configuración transformada:
- Ahora consiste en hallar una circunferencia tangente a una línea recta y otra circunferencia.
- Realiza la inversión inversa para recuperar la circunferencia solución en la configuración original.
Propiedades aplicadas:
- La inversión convierte un punto en el centro de la circunferencia inversora, simplificando el problema.
- La tangencia se mantiene en ambas configuraciones.
4. Caso CPR (Circunferencia, Punto y Recta)
Elementos dados:
- Una circunferencia (CC).
- Un punto (PP).
- Una recta (RR).
Descripción detallada:
Hallar una circunferencia que pase por el punto PP, sea tangente a la recta RR, y a la circunferencia CC.
Forma de resolución:
- Selecciona una circunferencia inversora con centro en PP.
- Aplica la transformación de inversión:
- La recta se transformará en una circunferencia que pasa por el centro de la inversora.
- La circunferencia CC se transformará en otra circunferencia.
- Resuelve el problema de tangencia en la configuración transformada:
- Ahora consiste en hallar una circunferencia tangente a dos circunferencias.
- Realiza la inversión inversa para recuperar la solución original.
Propiedades aplicadas:
- La inversión coloca el punto PP como centro de la transformación, simplificando las relaciones de tangencia.
- La tangencia se respeta en la transformación.
Resumen y reflexión
El método de inversión se emplea para resolver problemas de tangencia que presentan configuraciones demasiado complejas para los métodos directo o de potencia. Este enfoque simplifica la geometría del problema transformando circunferencias en líneas rectas o en otras circunferencias, lo que permite trabajar con relaciones más sencillas.
Específico del método de inversión:
- Permite resolver casos donde las circunferencias están muy separadas o presentan disposiciones difíciles.
- Requiere la elección cuidadosa de la circunferencia inversora para simplificar el problema.
- Resuelve el problema en la configuración transformada y luego devuelve la solución al espacio original.
Este método es una herramienta poderosa en geometría y dibujo técnico, permitiendo abordar problemas de tangencia aparentemente imposibles con precisión y claridad.
Descarga la forma de resolver todos los problemas en el siguiente archivo:
