Resolución de tangencias por lugares geométricos
El método de los lugares geométricos permite resolver problemas de tangencias localizando los centros de las circunferencias que cumplen determinadas condiciones. Para ello, se construyen los lugares geométricos correspondientes a cada condición y se obtienen las soluciones en sus puntos de intersección.
Cuando se conoce el radio (r) de la circunferencia que buscamos, podemos establecer tres lugares geométricos fundamentales:
1. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto
El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio (r) que pasan por un punto (P) es una circunferencia con centro en (P) y radio (r).
Esto se debe a que todos los centros posibles deben encontrarse a una distancia (r) del punto dado.
2. Circunferencias de radio conocido tangentes a una recta
El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio (r) tangentes a una recta es el conjunto de dos rectas paralelas a la dada, situadas a una distancia perpendicular (r), una a cada lado.
Esto se debe a que el radio trazado hasta el punto de tangencia siempre es perpendicular a la recta tangente.
3. Circunferencias de radio conocido tangentes a otra circunferencia
El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio (r) tangentes a una circunferencia dada, de centro (O) y radio (R), está formado por circunferencias concéntricas con la original, cuyos radios dependen del tipo de tangencia:
- Tangencia exterior: el radio del lugar geométrico es (R+r), es decir, la suma de ambos radios.
- Tangencia interior: el radio del lugar geométrico es (|R-r|), es decir, el valor absoluto de la diferencia de ambos radios.
Esto se debe a que, cuando dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia están alineados, y la distancia entre centros equivale a la suma o a la diferencia de sus radios.
Aplicación del método
Para resolver un problema de tangencias, se representan los lugares geométricos correspondientes a las condiciones del enunciado. Sus puntos de intersección determinan los centros de las circunferencias solución, siempre que existan y cumplan todas las condiciones planteadas.
